Sistemi Distribuiti Cooperativi

Giacché lo feci, lo sparo in cloud: Tesina per il corso Sistemi Distribuiti Cooperativi.

Una base infinita per i razionali positivi

Problema: dimostrare o confutare che ogni $q\in \mathbb{Q}^+$ può essere scritto come somma di numeri della forma $\frac{1}{n}$ (con $n \in \mathbb{N}$) distinti (i.e. ciascuno preso una sola volta).

Lo riformulo a parole mie:
Dato $S=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}$, dimostra o confuta che per ogni $q\in \mathbb{Q}^+$ esiste un sottoinsieme finito di $S$ la somma dei cui elementi è uguale a $q$.

Il prof. Tauraso ha dato una dimostrazione a lezione che non ho ben seguito perché ero impegnato a pensare a un diverso approccio. A fine lezione mi ha suggerito che un metodo alternativo consiste nell'usare l'identità $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$, avendo dunque cura di dimostrare che iterare un processo di "riscrittura" del numero razionale dato attraverso tale identità costituisce un processo finito.

Provando a buttar giù la mia presunta soluzione citata al post precedente, mi sono accorto dell'enorme epic fail che c'era dietro...
At least, I tried.

Step by step, vita i(n)tera(t)tiva

Durante questo mese ho accumulato molti spunti per vari post. Alcuni li iniziai pure a scrivere, ma non crebbero oltre il livello di bozza. Ho un amico che ultimamente mi ha definito più di una volta "ecologico": sono uno che risparmia, dal cibo al resto. Mi piacerebbe fosse vero, e in un certo senso è forse uno dei pochi vantaggi dell'essere nell'inflazionata, italianissima, classe dei procrastinatori. Il lofacciodopo ha il vantaggio di scremare il non essenziale, se lo si accompagna con decenti e potenti sensi di colpa.

Sul finir del mese mi ritrovo, grazie alla trafilata dei tre orali di ieri mattina, a tre esami dal chiudere il piano di studi. Un gran successo se non fossi me, cioè chi si era proposto di effettuare suddetta chiusura in tempi assai più brevi. 

Come mio insolito, non posto nulla del materiale del corso. Bisogna, prima o poi, prendere atto dell'esistenza di Google (cfr. l'insulsa quantità di studio mnemonico che il sistema d'istruzione italiano continua a propinare). Le dispense del Prof. Gianluca Rossi, per lasciare comunque un commento, non sono male, e gli esercizi fanno pensare.

Quest'estate, pur in pigrizia accademica, penso di aver avuto qualche piccola illuminazione sul numero 42, e qualche altra continua ad arrivare. A parte scherzi, tra le cose ho elucubrato su quanto sintetizzato in un recente post di uno dei miei blogger preferiti:
"per darsi una risposta bisogna prima essere disposti a farsi la domanda"

Mentre mi tengo la rarità di aver iniziato un blog di matematica senza quasi mai postare una formula, mi ripropongo a seguire di rendere più utile a me stesso l'attività di blogger cercando di scrivere in decente inglese. Nel mentre l'università è ricominciata, e con essa il bel corso di LAM. Nel prossimo post esporrò la mia soluzione a uno dei problemi presentati nella prima lezione.