Abraham de Moivre (1667-1754) nel suo Doctrine des chances (1718), matematicizzò la frequente constatazione di proporzionalità tra il numero di tentativi e il superamento del 50% di probabilità di successo.
Chiariamoci le idee direttamente con la matematica di tale idea:Supponiamo che un certo evento ha la probabilità p di verificarsi;
allora la probabilità che si verifichi almeno una volta in n tentativi è 1-(1-p)^n, ovvero il complementare dell'evento che esso non si verifichi mai in n tentativi;
dunque cerchiamo il minimo n per cui
1-(1-p)^n\geq \frac{1}{2} \iff(1-p)^n\leq\frac{1}{2}
pertanto passando ai logaritmi e sviluppando in serie
n\leq \frac{\ln 2}{\ln(1-p)} \iffn\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}
quindi il cercato n è il minimo tale che n\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}.
Se ora p è piccolo, possiamo trascurare al denominatore le sue potenze, ottenendo
n \approx \frac{\ln 2}{p} da cui l'inversa proporzionalità tra p ed n spesso notata nella pratica;
ma, appunto, se p non è piccolo, tale approssimazione è sballata.
allora la probabilità che si verifichi almeno una volta in n tentativi è 1-(1-p)^n, ovvero il complementare dell'evento che esso non si verifichi mai in n tentativi;
dunque cerchiamo il minimo n per cui
1-(1-p)^n\geq \frac{1}{2} \iff(1-p)^n\leq\frac{1}{2}
pertanto passando ai logaritmi e sviluppando in serie
n\leq \frac{\ln 2}{\ln(1-p)} \iffn\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}
quindi il cercato n è il minimo tale che n\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}.
Se ora p è piccolo, possiamo trascurare al denominatore le sue potenze, ottenendo
n \approx \frac{\ln 2}{p} da cui l'inversa proporzionalità tra p ed n spesso notata nella pratica;
ma, appunto, se p non è piccolo, tale approssimazione è sballata.
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