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Wednesday, July 11, 2012

Esame di CP: objective completed

Meno un altro. Ci ho messo un po' per prepararlo. Molto interessante, belle dispense con tanti esempi, non per nulla la professoressa è un Insegnante con la I maiuscola. 
Come di consuetudine, qui di sotto allego le ottime dispense.
Qualche minore osservazione studiando:
  • a fine pagina 105 arriva a un integrale e dice di integrarlo per parti, sicuramente per non mettere troppa carne a cuocere introducendo la densità di una Beta, infatti si fa prima a riconoscere, moltiplicando e dividendo per n+1, la densità di una Beta integrata su tutto il dominio;
  • a fine pagina 111 le variabili s e t vengono usate in senso diverso da quanto fatto poco prima nella stessa pagina, in particolare s corrisponde alla t di sopra;
  • la definizione dei q_{ij} in un certo senso è giustificata a pagina 115, al termine della dimostrazione delle equazioni di Kolmogorov; a mio parere, la loro definizione in termini della matrice di transizione della dinamica discreta associata è meglio ricavarla come di seguito.
I parametri q_{ij} in termini delle probabilità di transizione p_{ij}: una derivazione naturale
  1. La matrice Q è definita come avente in entrata  q_{ij} il parametro \nu_i della legge esponenziale seguita dalla variabile aleatoria \tau_i che determina il tempo di salto dallo stato i allo stato j, inoltre (si impone che) la somma delle righe di Q è zero, per cui si pone  q_{ii}=-\sum_{i\neq j}q_{ij};
  2. la probabilità che il processo di Markov a tempo continuo effettivamente passi dallo stato i allo stato j è data dunque dalla probabilità che la prima variabile aleatoria a realizzarsi sia \tau_j, ovvero  P(X("primo salto")=j|X(0)=i)=P(\tau_j<\min(\tau_1,...,\tau_n)|X(0)=i)
  3. è noto che \min(\tau_1,...,\tau_n) \sim exp(\sum_{k=1}^{n}{\nu_k}), e che se X\sim exp(\lambda_X) e Y\sim exp(\lambda_Y) allora P(X<Y)=\frac{\lambda_X}{\lambda_X+\lambda_Y};
  4. da quanto considerato al punto precedente segue che P(X("primo salto")=j|X(0)=i)=\frac{{\nu_j}}{\sum_{k=1}^{n}{\nu_k}}
  5. indicando con la notazione nota per le matrici di transizione per catene di Markov discrete p_{ij}:=P(X("primo salto")=j|X(0)=i) e ponendo \nu := \sum_{k=1}^{n}{\nu_k} per  i\neq j si ha dunque   p_{ij}=\frac{q_{ij}}{\nu}

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