Esame di CP: objective completed

Meno un altro. Ci ho messo un po' per prepararlo. Molto interessante, belle dispense con tanti esempi, non per nulla la professoressa è un Insegnante con la I maiuscola. 
Come di consuetudine, qui di sotto allego le ottime dispense.
Qualche minore osservazione studiando:

• a fine pagina 105 arriva a un integrale e dice di integrarlo per parti, sicuramente per non mettere troppa carne a cuocere introducendo la densità di una Beta, infatti si fa prima a riconoscere, moltiplicando e dividendo per $n+1$, la densità di una Beta integrata su tutto il dominio;
• a fine pagina 111 le variabili $s$ e $t$ vengono usate in senso diverso da quanto fatto poco prima nella stessa pagina, in particolare $s$ corrisponde alla $t$ di sopra;
• la definizione dei $q_{ij}$ in un certo senso è giustificata a pagina 115, al termine della dimostrazione delle equazioni di Kolmogorov; a mio parere, la loro definizione in termini della matrice di transizione della dinamica discreta associata è meglio ricavarla come di seguito.

I parametri $q_{ij}$ in termini delle probabilità di transizione $p_{ij}$: una derivazione naturale

1. La matrice $Q$ è definita come avente in entrata  $q_{ij}$ il parametro $\nu_i$ della legge esponenziale seguita dalla variabile aleatoria $\tau_i$ che determina il tempo di salto dallo stato $i$ allo stato $j$, inoltre (si impone che) la somma delle righe di $Q$ è zero, per cui si pone  $q_{ii}=-\sum_{i\neq j}q_{ij}$;
2. la probabilità che il processo di Markov a tempo continuo effettivamente passi dallo stato $i$ allo stato $j$ è data dunque dalla probabilità che la prima variabile aleatoria a realizzarsi sia $\tau_j$, ovvero $$  P(X("primo salto")=j|X(0)=i)=P(\tau_j<\min(\tau_1,...,\tau_n)|X(0)=i) $$
3. è noto che $\min(\tau_1,...,\tau_n) \sim exp(\sum_{k=1}^{n}{\nu_k})$, e che se $X\sim exp(\lambda_X)$ e $Y\sim exp(\lambda_Y)$ allora $P(X<Y)=\frac{\lambda_X}{\lambda_X+\lambda_Y}$;
4. da quanto considerato al punto precedente segue che $$P(X("primo salto")=j|X(0)=i)=\frac{{\nu_j}}{\sum_{k=1}^{n}{\nu_k}}$$
5. indicando con la notazione nota per le matrici di transizione per catene di Markov discrete $p_{ij}:=P(X("primo salto")=j|X(0)=i)$ e ponendo $\nu := \sum_{k=1}^{n}{\nu_k}$ per  $i\neq j$ si ha dunque  $$ p_{ij}=\frac{q_{ij}}{\nu}$$