Lemmando

Due eventi sono indipendenti sse (se e solo se, conditio sine qua non) lo sono i loro complementari.
Molto intuitivo. Dimostrarlo coi conti non mi è venuto altrettanto immediato.
Assumendo $P(A|B)=P(A)$ abbiamo $$P({ A }^{ c }|{ B }^{ c })=\frac { P({ A }^{ c }\cap { B }^{ c }) }{ P({ B }^{ c }) } =\frac { 1-P({ A }^{  }\cup { B }^{  }) }{ P({ B }^{ c }) } =\\ =\frac { 1-P({ A })-P(B)+P({ A }^{  }\cap { B }^{  }) }{ P({ B }^{ c }) } =\frac { P({ B }^{ c })-P({ A })+P(A)P({ B }^{  }) }{ P({ B }^{ c }) }= \\ =1-\frac { P({ A })(1-P({ B }^{  })) }{ P({ B }^{ c }) } =P({ A }^{ c })$$