Abraham de Moivre (1667-1754) nel suo Doctrine des chances (1718), matematicizzò la frequente constatazione di proporzionalità tra il numero di tentativi e il superamento del 50% di probabilità di successo.
Chiariamoci le idee direttamente con la matematica di tale idea:Supponiamo che un certo evento ha la probabilità $p$ di verificarsi;
allora la probabilità che si verifichi almeno una volta in $n$ tentativi è $1-(1-p)^n$, ovvero il complementare dell'evento che esso non si verifichi mai in $n$ tentativi;
dunque cerchiamo il minimo $n$ per cui
$$1-(1-p)^n\geq \frac{1}{2} \iff(1-p)^n\leq\frac{1}{2}$$
pertanto passando ai logaritmi e sviluppando in serie
$$n\leq \frac{\ln 2}{\ln(1-p)} \iffn\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}$$
quindi il cercato $n$ è il minimo tale che $n\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}$.
Se ora $p$ è piccolo, possiamo trascurare al denominatore le sue potenze, ottenendo
$$n \approx \frac{\ln 2}{p}$$ da cui l'inversa proporzionalità tra $p$ ed $n$ spesso notata nella pratica;
ma, appunto, se $p$ non è piccolo, tale approssimazione è sballata.
allora la probabilità che si verifichi almeno una volta in $n$ tentativi è $1-(1-p)^n$, ovvero il complementare dell'evento che esso non si verifichi mai in $n$ tentativi;
dunque cerchiamo il minimo $n$ per cui
$$1-(1-p)^n\geq \frac{1}{2} \iff(1-p)^n\leq\frac{1}{2}$$
pertanto passando ai logaritmi e sviluppando in serie
$$n\leq \frac{\ln 2}{\ln(1-p)} \iffn\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}$$
quindi il cercato $n$ è il minimo tale che $n\leq \frac{\ln 2}{p+\frac{p^2}{2}+\dots}$.
Se ora $p$ è piccolo, possiamo trascurare al denominatore le sue potenze, ottenendo
$$n \approx \frac{\ln 2}{p}$$ da cui l'inversa proporzionalità tra $p$ ed $n$ spesso notata nella pratica;
ma, appunto, se $p$ non è piccolo, tale approssimazione è sballata.
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